誕生日のパラドックス

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ある集団の中で、同じ誕生日の人が少なくとも一組いる確率が50%を越えるには理論的には最低でも23人いればいいという、明らかに私たちの実感からかけ離れている人数なので、誕生日のパラドックスと呼ばれます。

ここで、誕生日が一致する確率を実際に求めてみましょう。少なくとも一組、誕生日が一致する事象をAとすると、事象Aの起こる確率P(A)は一組も誕生日が一致しない確率P(A-)を1から差し引けばよいので、

P(A)=1ー(1組も誕生日が一致しない確率)=1-P(A-) …①

となります。

次に事象A-の起こる確率P(A)について考えます。もし、集団の中に2人いたら、その2人の誕生日が一致しない確率は、

P(A-)=365/365×364/365
　　　　　　　　　　　　　　　　　　=364/365≒0.997

3人いたらP(A-)は

P(A-)=365/365×364/365×363/365=365!/365³(365-3)!
≒0.992

4人いたらP(A-)は

P(A-)=365/365×364/365×363/365×362/365
=365!/365⁴(365-4)!

n人いたらP(A-)は

P(A-)=365!/365ⁿ(365-n)!　…②

この②の式を①に代入して

P(A)=1-365!/365ⁿ(365-n)!

つまり、誕生日が一致する確率が50%を超えるために必要な集団の人数は、P(A)≧0.5を満たす整数nは、n≧23です。

図1　集団の人数n【横軸】と誕生日が少なくとも一組一致する確率P(A)【縦軸】

では、集団の中にいるある特定の人物とほかの誰かの誕生日が少なくとも一人一致する確率はどれくらいでしょうか？集団の人数をn人とし、誕生日が一致する事象をBとすると、

　　　　　　　　　　　　　　 P(B)=1ー(1人も誕生日が一致しない確率)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 =1-P(B‐)…③

誕生日が一致しない確率P(B‐)を求めるには、ある特定の人物との誕生日とほかの人物の誕生日が一致しなければいいので、たとえばある特定の人物の誕生日が6月1日だとすると、ほかの人の誕生日は6月1日以外であればいいので、ある特定の人物が他のn人と誕生日が一致しない確率は

P(B‐)=(364/365)ⁿ　…④

④を③に代入すると、

　　　　　　　　　　　　　　　P(B)=1ー(364/365)ⁿ

P(B)≧0.5になる整数nの範囲は、n≧253です。つまり、253人以上いれば50%以上の確率で誕生日が一致します。この結果は私たちの実感にだいぶ近いものとなります。

図1　集団の人数n【横軸】とある特定の人物と誕生日が一致する確率P(B)【縦軸】

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